人工智能機器學習有關算法內容，請參見公眾號“科技優化生活”之前相關文章。人工智能之機器學習主要有三大類:1)分類;2)回歸;3)聚類。今天我們重點探討一下ICA算法。 ^_^ 

ICA獨立成分分析是近年來出現的一種強有力的數據分析工具（Hyvarinen A, Karhunen J, Oja E, 2001; Roberts S J, Everson R, 2001）。1994年由Comon給出了ICA的一個較為嚴格的數學定義，其思想最早是由Heranlt和Jutten于1986年提出來的。 

ICA從出現到現在雖然時間不長，然而無論從理論上還是應用上，它正受到越來越多的關注，成為國內外研究的一個熱點。

ICA獨立成分分析是一種用來從多變量（多維）統計數據里找到隱含的因素或成分的方法，被認為是PCA主成分分析(請參見人工智能（46）)和FA因子分析的一種擴展。對于盲源分離問題，ICA是指在只知道混合信號，而不知道源信號、噪聲以及混合機制的情況下，分離或近似地分離出源信號的一種分析過程。 

ICA算法概念：

ICA（IndependentComponent Analysis） 獨立成分分析是一門統計技術，用于發現存在于隨機變量下的隱性因素。ICA為給觀測數據定義了一個生成模型。在這個模型中，其認為數據變量是由隱性變量，經一個混合系統線性混合而成，這個混合系統未知。并且假設潛在因素屬于非高斯分布、并且相互獨立，稱之為可觀測數據的獨立成分。

ICA與PCA相關，但它在發現潛在因素方面效果良好。它可以應用在數字圖像、檔文數據庫、經濟指標、心里測量等。

ICA算法本質：

ICA是找出構成信號的相互獨立部分(不需要正交)，對應高階統計量分析。ICA理論認為用來觀測的混合數據陣X是由獨立元S經過A線性加權獲得。ICA理論的目標就是通過X求得一個分離矩陣W，使得W作用在X上所獲得的信號Y是獨立源S的最優逼近，該關系可以通過下式表示：

Y = WX = WAS ， A = inv(W)

ICA相比與PCA更能刻畫變量的隨機統計特性，且能抑制高斯噪聲。

從線性代數的角度去理解，PCA和ICA都是要找到一組基，這組基張成一個特征空間，數據的處理就都需要映射到新空間中去。

ICA理論基礎：

ICA理論基礎如下：

1）標準正交基

2）白化

3）梯度下降

ICA目標函數:

ICA的目標函數如下： 
 

樣本數據 x 經過參數矩陣 W 線性變換后的結果的L1范數，實際上也就是描述樣本數據的特征。

加入標準正交性約束（orthonormality constraint）后，ICA獨立成分分析相當于求解如下優化問題： 

這就是標準正交ICA的目標函數。與深度學習中的通常情況一樣，這個問題沒有簡單的解析解，因此需要使用梯度下降來求解，而由于標準正交性約束，又需要每次梯度下降迭代之后，將新的基映射回正交基空間中，以此保證正交性約束。 

ICA優化參數:  

針對ICA的目標函數和約束條件，可以使用梯度下降法，并在梯度下降的每一步中增加投影（projection ）步驟，以滿足標準正交約束。過程如下：  

ICA算法流程：

已知信號為S，經混和矩陣變換后的信號為：X=AS。對交疊信號X，求解混矩陣B，使Y=WX各分量盡量相互獨立。求解W的過程并不一定是近似A的逆矩陣，Y也不是信號S的近似，而是為了使Y分量之間相互獨立。目的是從僅有的觀測數據X出發尋找一個解混合矩陣。

常見的方法：InfoMax方法（用神經網絡使信息最大化），FastICA方法（固定點算法，尋求X分量在W上投影（W^t）*X）的非高斯最大化。

主要算法流程如下： 
 1、預處理部分：1）對X零均值處理   
2）球化分解（白化）

乘球化矩陣S，使Z=SX各行正交歸一，即ZZ’=I

2、核心算法部分： 尋求解混矩陣U，使Y=UZ，Y各道數據盡可能獨立（獨立判據函數G）。
1)、由于Y獨立，各行必正交。且通常取U保持Y各行方差為1，故U是正交變換。
2)、所有算法預處理部分相同，以后都設輸入的為球化數據z，尋找正交矩陣U，使Y=Uz獨立。

由于獨立判據函數G的不同，以及步驟不同，有不同的獨立分量分析法。

3、Fast ICA算法思路：

思路：屬于探查性投影追蹤

目的：輸入球化數據z，經過正交陣U處理，輸出Y=Uz
1）輸入球化數據z，經過正交陣某一行向量ui處理（投影），提取出某一獨立分量yi。

2）將此分量除去，按次序依次提取下去，得到所有的yi ，以及ui。

3）得到獨立的基向量U

U＝WX

Fast ICA算法程序如下：

function [Out1, Out2, Out3] =fastica(mixedsig, varargin)

%FASTICA(mixedsig) estimates theindependent components from given

% multidimensional signals. Each row ofmatrix mixedsig is one

% observed signal.

% = FASTICA (mixedsig); the rows oficasig contain the

% estimated independent components.

% = FASTICA (mixedsig); outputs the estimatedseparating

% matrix W and the corresponding mixingmatrix A.

mixedsig為輸入向量，icasig為求解的基向量。

A即為混合矩陣，可以驗證mixedsig=A×icasig。

W即為解混矩陣，可以驗證icasig=W×mixedsig。

ICA算法優點：

1）收斂速度快。

2）并行和分布計算，要求內存小，易于使用。

3）能通過使用一個非線性函數g便能直接找出任何非高斯分布的獨立分量。

4）能夠通過選擇一個適當的非線性函數g而使其達到最佳化。特別是能得到最小方差的算法。

5）僅需要估計幾個（不是全部）獨立分量，能極大地減小計算量。

ICA算法缺點：

1) 特征矩陣W的特征數量（即基向量數量）大于原始數據維度會產生優化方面的困難，并導致訓練時間過長；

2) ICA模型的目標函數是一個L1范數，在 0 點處不可微，影響了梯度方法的應用。

注：盡管可以通過其他非梯度下降方法避開缺點2），也可以通過使用近似值“平滑” L1 范數的方法來解決，即使用 ( x2+ε )1/2 代替 |x|，對 L1 范數進行平滑，其中 ε 是“平滑參數”（smoothing parameter）。

ICA與PCA區別：

1） PCA是將原始數據降維并提取出不相關的屬性，而ICA是將原始數據降維并提取出相互獨立的屬性。

2） PCA目的是找到這樣一組分量表示，使得重構誤差最小，即最能代表原事物的特征。ICA的目的是找到這樣一組分量表示，使得每個分量最大化獨立，能夠發現一些隱藏因素。由此可見，ICA的條件比PCA更強些。

3） ICA要求找到最大獨立的方向，各個成分是獨立的；PCA要求找到最大方差的方向，各個成分是正交的。

4） ICA認為觀測信號是若干個統計獨立的分量的線性組合，ICA要做的是一個解混過程。而PCA是一個信息提取的過程，將原始數據降維，現已成為ICA將數據標準化的預處理步驟。

ICA算法應用：

從應用角度看，ICA應用領域與應用前景都是非常廣闊的，目前主要應用于盲源分離、圖像處理、語言識別、通信、生物醫學信號處理、腦功能成像研究、故障診斷、特征提取、金融時間序列分析和數據挖掘等。 

結語:

ICA是一種常用的數據分析方法，是盲信號分析領域的一個強有力方法，也是求非高斯分布數據隱含因子的方法。從樣本-特征角度看，使用ICA的前提條件是，認為樣本數據由獨立非高斯分布的隱含因子產生，隱含因子個數等于特征數，要求的是隱含因子。ICA算法已經被廣泛應用于盲源分離、圖像處理、語言識別、通信、生物醫學信號處理、腦功能成像研究、故障診斷、特征提取、金融時間序列分析和數據挖掘等領域。