麥克斯韋方程是一組描述電磁學世界的4個復雜方程。這些方程描述了電場和磁場如何傳播、相互作用，以及它們如何受到物體的影響。
詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）[1831-1879]是愛因斯坦/牛頓級別的天才，他采用了一組已知的實驗定律（法拉第定律、安培定律），并將它們統一成一組對稱的相干方程，稱為麥克斯韋方程。麥克斯韋是最早確定電磁波傳播速度與光速相同的人之一，因此得出結論：電磁波和可見光實際上是同一回事。
麥克斯韋方程是理解天線和電磁學的關鍵。它們看起來非常復雜，以至于大多數電子工程師和物理學家都不知道它們的真正含義。被復雜的數學所籠罩（人們在討論這些問題時可能會覺得自己很聰明），很難真正理解這些方程。
如果可能的話，我將避免出現數學困難，而是描述方程的含義。別害怕，數學太復雜了，那些真正理解復雜向量演算的人，除了最簡單的情況外，仍然無法應用麥克斯韋方程。因此，麥克斯韋方程的直觀知識遠遠優于基于數學操作的知識。要了解這個世界，你必須了解方程的含義，而不僅僅是了解數學結構。我相信教授電磁學和麥克斯韋方程的公認方法不能產生理解。接下來，我們來談談這些方程。
麥克斯韋方程是定律，就像重力定律一樣。這些方程是宇宙用來控制電場和磁場行為的規則。電流的流動會產生磁場。如果電流隨時間變化（如在任何波或周期信號中），磁場也會產生電場。麥克斯韋方程表明，分離電荷（正電荷和負電荷）會產生一個電場——如果這個電場在時間上發生變化，也會產生一個傳播電場，進而產生一個支撐磁場。
要比大多數工程學或物理學博士更直觀地理解麥克斯韋方程，請點擊上面的鏈接和定義。你會發現復雜的數學掩蓋了這些方程內在的優雅——你會了解宇宙是如何操作電磁機器的。
這個散度算子就是上圖 麥克斯韋方程組中的那個倒三角和點組成的符號
首先散度的定義即是：點（x，y，z）處的散度是該點周圍曲面的矢量流的度量。也就是說，假設一個向量場代表水流。如果散度是一個正數，這意味著水從這個點流出（就像一個水嘴-這個位置被認為是一個源頭）。如果散度是一個負數，那么水就流入這個點（就像一個排水溝-這個位置被稱為水槽）。
我將舉一些例子來說明這一點。首先，假設我們有一個向量場（由向量函數a給出），如圖1所示，我們想知道P點的散度是多少：
我們還畫了一個圍繞點P的假想表面。現在想象向量A代表水流。那么，如果你把從地表流出的水量加起來，這個量會是正數嗎？答案是肯定的：水在S表面的每個位置都從表面流出。因此，我們可以說P的散度是正的。
再舉一個簡單的例子，如圖2所示。我們在點P周圍有一個新的向量場B：
在圖2中，如果我們想象水的流動，我們會看到P點像一個排水溝或水槽。在這種情況下，流出表面的氣流是負的，因此，P處的場B的散度是負的。
很簡單，嗯？這里還有幾個例子。圖3在點周圍有一個向量場C：
在圖3中，如果C表示水的流量，那么更多的水是流入還是流出地表？在圖3的頂部，水從表面流出，但在底部流入。由于場進出表面的流量相等，散度為零。
鑒于您可能玩得很開心，讓我們再舉兩個例子。查看圖4：
在圖4中，我們有一個繞著點P的向量場D。流是正的（流出表面）還是負的（流入表面）？在沿曲面S的每個點處，場沿曲面切向流動。因此，場不是在每個點流入或流出表面。因此，在P處，我們得到D的散度等于0。
讓我們看最后一個例子，圖5中的字段E：
向量場E在P點上方有一個大向量，表示那里有一個很強的場，很多水從表面流出。P左邊的向量很小，與曲面相切，因此在該點沒有流入或流出S的流。P右邊的向量也是如此，P下面的向量很小，表示流入地表的水量較小。因此，我們可以猜測散度是正的-流出地表的水比流入地表的水多。
當然如果你的數學比較好的話，請點擊閱讀原文查看散度的數學定義。小木匠比較懶，不再對數學定義做更多學習。
2.2 旋度和旋度算子
這個旋度算子就是麥克斯韋方程組中式3和式4用到的那個倒三角和x的組合：
旋度是向量場旋轉的量度。為了理解這一點，我們將再次使用流動水的類比來表示向量函數（或向量場）。在圖1中，我們有一個向量函數（V），我們想知道場是否在D點旋轉（也就是說，我們想知道旋度是否為零）。
若要確定場是否旋轉，請假設D點處有一個水輪。如果表示水流的矢量場會旋轉水輪，則旋度不為零：
在上圖中，我們可以看到水輪將順時針旋轉。因此，這個向量場在點D處有一個旋度。
我們現在必須使事情更復雜。圖2的旋度是正的還是負的，方向是什么？因為我們觀察的是在x-y平面上旋轉水車的旋度，所以旋度的方向被認為是z軸（垂直于水車的平面）。此外，卷曲遵循右手法則：如果你的拇指指向+z方向，那么你的右手將沿著正卷曲的方向繞軸卷曲。對于圖2，如果水輪以逆時針方向旋轉，則旋度為正。如果水車順時針旋轉，旋度將為負值。
在上圖中，水輪順時針旋轉。因此，圖1中向量場旋度的z分量為負。
你可以想象，旋度也有x和y分量。因此，旋度作用于向量場，結果是三維向量。也就是說，如果我們知道一個向量場，我們就可以計算任意點的旋度，結果就是一個向量（表示x、y和z方向）。
再舉一個新的例子。假設圖3中的向量場F具有z向場。讓
符號表示+z方向的向量，
符號表示-z方向的向量：
如果水在輪子周圍上下流動，輪子會旋轉嗎？答案是否定的。當輪子在x-y平面上時，只有x和y方向的向量可以使輪子旋轉。因此，可以忽略z向向量場來確定旋度的z分量。
現在，讓我們舉更多的例子來確保我們理解旋度。關于下圖中G點處向量場J的旋度，我們能說些什么？
圖4中的旋度是正、負還是零？它朝什么方向？首先，由于水車在y-z平面上，旋度的方向（如果不是零）將沿x軸。現在，我們想知道旋度是正的（逆時針旋轉）還是負的（順時針旋轉）。
上圖中的紅色向量在+y方向。但是，它不會旋轉水輪，因為它直接指向水輪的中心，不會產生旋轉。圖4中的綠色向量將嘗試沿順時針方向旋轉水輪機，而黑色向量將嘗試沿逆時針方向旋轉水輪機，因此綠色向量和黑色向量抵消，不產生旋轉。但是，棕色矢量將逆時針方向旋轉水輪。因此，圖4中所有矢量的凈效應是逆時針旋轉。結果是圖4中的旋度是正的，并且在+x方向上。
一般來說，向量場有[x，y，z]個分量。得到的旋度也是一個包含[x，y，z]分量的向量。用水車在三個方向上畫三維場是很困難的，但是如果你理解上面的例子，你可以把上面的二維思想推廣到三維。現在我們將給出旋度的完整數學定義。
下面公式式麥克斯韋方程組的微分形式，詳細介紹在長尾的文章內有。我們這邊先以小木匠學習的這篇英文文檔說起。
高斯定律是麥克斯韋方程的第一個，它決定了電場在電荷周圍的行為。高斯定律可以用電通量密度和電荷密度寫成：
這個就用到了散度算子，大家還不理解的話還可以回到上文再學習。
小木匠提示一下：散度就是點（x，y，z）處的散度是該點周圍曲面的矢量流的度量。
方程[1]以點的形式稱為高斯定律。也就是說，方程[1]在空間的任何一點都是正確的。也就是說，如果某個地方存在電荷，那么該點的D的散度是非零的，否則等于零。
為了更直觀地了解高斯定律，讓我們看一下積分形式的高斯定律。為此，我們假設某個任意卷（我們稱之為V）有一個邊界（寫為S）。然后在體積V上積分方程[1]得到積分形式的高斯定律：
我可能說得不太清楚，但讓我們很快來看看。以圖1為例。我們有一個體積V，就是立方體。曲面S是立方體的邊界（即構成體積邊界的6個平面）。
方程[2]指出，體積V（=封閉電荷）內的電荷量等于從表面S流出的總磁通量（D）。也就是說，要確定離開區域V的磁通量，我們只需要知道體積內有多少電荷。我們用方程[3]中定義的更多項重寫方程[2]：
上圖中的立方體示例可能有助于說明這一點。看看圖2中的P點，我們已經畫出了D場向量：
我們可以根據切向分量和法向分量重寫任何字段，如圖2所示。從方程[3]中，我們只對D法向（正交或垂直）到曲面S的分量感興趣，我們把它寫成Dn。切向分量Dt沿表面流動。如果你把D場想象成水的流動，那么只有成分Dn會對水有貢獻，實際上離開體積Dt只是水繞著表面流動。
因此，高斯定律是一個數學陳述，即任何體積的總電流等于內部的總電荷。因此，如果所討論的體積內沒有電荷，則流出該區域的凈電流為零。如果在一個體積內有正電荷，那么在電荷周圍的任何體積中都存在正數量的電流。如果一個體積內有負電荷，則存在一個負數量的電通量（即電通量進入該體積）。
這有什么關系？高斯定律指出電荷是電場的源或匯。
如果你再次使用水的類比，正電荷會導致一個體積的水流出，這意味著正電荷就像一個水源（一個水龍頭——把水抽到一個區域）。相反，負電荷會導致流入一個體積——這意味著負電荷就像一個水槽（磁場流入一個區域并在電荷上終止）。
這給了我們很多關于場在任何場景中的物理行為的直覺。例如，對于電場，這里有可能也有不可能的情況，這是由宇宙在高斯定律中決定的：
如果你觀察到D場在電荷周圍的行為方式，你可能會注意到高斯定律相當于電荷的力方程，這就產生了點電荷的E場方程：
方程[4]表明電荷對它們施加力，這意味著存在著遠離正電荷和朝向負電荷的電場。這意味著反電荷吸引負電荷排斥。由于D和E與介電常數有關，我們發現高斯定律是電荷力方程的一個更為形式化的表述。
總之，高斯定律意味著以下情況是正確的：
D場在空間任意區域（體積）上的發散量，正好等于該區域中的電荷凈額。
不得不佩服高斯的niubility，麥克斯韋方程組，高斯提供了兩個重要公式。
你可以看到這兩個方程都指定了所討論的場的散度。對于top方程，我們知道電場的高斯定律表明，磁通密度D的散度等于體積電荷密度。而第二個方程，高斯磁定律表明磁通密度（B）的散度為零。
嗯-是的。但碰巧沒有人發現過磁電荷，不是在實驗室里，街上或地鐵里。因此，在找到這個假設的磁荷之前，我們將磁場的高斯定律的右邊設為零：
由于B和磁場H與磁導率有關，我們在方程[2]中注意到磁場的散度也是零。
現在，你小時候可能玩過磁鐵，這些磁性物體吸引了其他磁鐵，就像電荷排斥或吸引電荷一樣。然而，這些磁鐵有一些特別之處——它們總是有一個積極和消極的結局。這意味著每個磁性物體都是一個磁偶極子，有一個南北極。不管你把磁場分成兩半多少次，它只會形成更多的磁偶極子。高斯磁定律指出磁單極子不存在，或者至少我們還沒有找到它們。
因為我們知道磁通密度的散度總是零，所以我們現在對這些磁場的行為有了一點了解。我將舉幾個合法和非法磁場的例子，這是高斯定律對磁場的結果：
總之，麥克斯韋方程組的第二個——高斯磁性定律——意味著：
離開磁偶極子，磁場在一個閉環中流動。這是真的，即使是平面波，恰好有一個無限半徑的環。
這就是磁場的高斯定律。如果你理解高斯電場定律，這不是很復雜。
終于輪到天才法拉第出場了，目前比較火的號線式賈忽悠的法拉第未來，有損法拉第的英明。此罪當煮。
法拉第是一位科學家，早在19世紀30年代就開始試驗電路和磁線圈。他的實驗裝置導致了法拉第定律，如圖1所示：
實驗本身有點簡單。當電池斷開時，我們沒有電流流過電線。因此，鐵（磁芯）內沒有感應磁通量。鐵就像一條通向磁場的高速公路——它們很容易流過磁性物質。所以磁芯的作用是為磁通量創造一條路徑。
當開關閉合時，電流將在連接到蓄電池的導線內流動。當電流流動時，它有一個相關的磁場（或磁通量）。當導線纏繞在磁芯的左側（如圖1所示）時，磁芯內會產生磁場（磁通量）。這種磁通量繞著磁芯移動。所以左邊的接線線圈產生的磁通量存在于右邊的接線線圈中，它與電流表相連。
現在，一件有趣的事情發生了，法拉第觀察到了。當他關閉開關時，電流會開始流動，電流表會單向尖峰（比如測量另一側的+10安培）。但這是非常短暫的，右邊線圈上的電流將歸零。當開關斷開時，測量的電流會向另一側尖峰（比如說，將測量-10安培），然后右側的測量電流將再次為零。
法拉第知道發生了什么。當開關最初從開到關時，磁芯內的磁通量從零增加到某個最大值（這是一個恒定值，隨時間變化）。當磁通量增加時，在磁通的另一側存在感應電流。
同樣，當開關打開時，磁芯中的磁通量也會從它的恒定值減小到零。因此，磁芯內的磁通量減少會在右側產生相反的電流。
法拉第發現，電路（或導線的閉環）內的磁通量變化會產生感應電動勢或電路內的電壓。他這樣寫道：
在方程[2]中，磁通量是電路內的磁通量，而電動勢是電動力，基本上是電壓源。方程[2]表明電路中的感應電壓與磁通量的時間變化率相反。有關衍生工具的詳細信息，請參閱“部分衍生工具”頁。
方程[2]被稱為Lenz定律。倫茲是找出負號的人。我們知道電流會產生磁場，但多虧了法拉第，我們也知道回路中的磁場會產生電流。宇宙喜歡對稱性，麥克斯韋方程有很多對稱性。
現在，我們得到了方程[2]的實驗結果，我們如何從這個結果到方程[1]中法迪定律的標準形式？很高興你問我。讓我們想象一個簡單的循環，其中有一個時變的B字段：
我們知道，總磁通量的變化率等于電動勢的反方向，即導線內的電力。總磁通量只是導線所包圍區域上B場的積分（或和）：
為了求出整個電路周圍感應的總電動勢，我們把每一點產生的電動勢加在電線的長度上。這就是所謂的線積分。本文寫成：
現在，回想一下，電場與電荷產生的力直接相關。電壓也被定義為路徑上電場的總和（積分）[回想一下，電場是以伏特/米為單位測量的]。因此，電場實際上是電壓的空間導數（電場等于電壓相對于距離的變化率）。這些事實總結如下：
因此，方程[4]和[5]告訴我們，沿著電路的任何點（在[4]中為dEMF）的EMF微分量等于該位置的E場。因此：
現在，一些數學家Stokes發現，在一個環上積分（平均）一個場就等于在環內積分這個場的旋度。這對你來說應該有一個直觀的事實：旋度是場旋轉的量度，因此曲面內向量場的旋度應該與圍繞曲面的環的場的積分有關。如果沒有意義，請多想想，或者接受以下事實（因為它是真的——不僅是E字段，而且是任何字段）：
現在我們就快到了。如果我們用方程[3]和方程[7]中的項替換方程[2]的Farday定律，那么我們得到：
在方程[8]中，我們注意到如果我們在曲面上有兩個積分，并且曲面可以是我們選擇的，那么我們積分的量也必須是相同的。這就是我們如何得到法拉第定律的最終形式，如麥克斯韋方程所列！
法拉第定律表明，回路中磁場的變化會產生感應電流，感應電流是由回路中的力或電壓引起的。我們可以這樣說法拉第定律：
隨著時間的推移，一個循環的電場會產生一個隨時間變化的磁場。
法迪定律是非常強大的，因為它顯示了宇宙是多么熱愛對稱。如果電流產生磁場，磁場就會產生電流。空間中的E場的變化會導致時間上的B場的變化。當我們繼續看麥克斯韋方程的最后一個，安培定律，我們會看到更多的對稱性！
式4 安培定律
安培是一位科學家，他在試驗載電流的電線上的力。早在19世紀20年代，他就在做這些實驗，幾乎和法迪研究法拉第定律的時間一樣。安培和法迪不知道，大約40年后，麥克斯韋自己會把工作統一起來。
電線上的力量對我來說不是特別有趣，因為在我的工作過程中，我從來沒有機會使用非常復雜的方程式（包括博士學位，在國家實驗室的一些工作，以及國防和消費電子行業的就業）。所以，我將首先介紹安培定律，它涉及電流和圍繞它的磁場：
方程[2]可以解釋為：假設有一個導體（導線）攜帶電流，那么這個電流產生一個繞導線旋轉的磁場。
方程[2]的左邊是指：如果你沿著環繞導線的任何一條假想路徑，把沿著該路徑的每一點的磁場相加，那么它將在數值上等于被該路徑環繞的電流量（這就是為什么我們把環繞電流寫為環繞電流或環繞電流的原因）。
讓我們做一個有趣的例子。假設我們有一根長電線，它承載著恒定的電流，I[安培]。距離導線任意距離r[米]時，導線周圍的磁場是多少？
讓我們看看圖1中的圖表。我們有一根載電流為安培的長電線。我們想知道在距離導線r的地方磁場是多少。所以我們在電線周圍畫了一條假想的路徑，這是圖1右邊的藍色虛線：
安培定律[方程式2]指出，如果我們沿著這條藍色路徑把磁場加起來（積分），那么在數值上這應該等于封閉電流I。
現在，由于對稱性，磁場在距離導線r處是均勻的（不是變化的）。圖1中藍色路徑的路徑長度等于半徑r的圓的周長。
如果我們把磁場的一個常數相加（我們稱之為H），那么方程[2]的左邊就變得簡單了：
因此，我們已經知道了H場的大小。既然r是任意的，我們知道H場在哪里。方程[3]指出，當你遠離導線時（由于1/r項），磁場的大小會減小。
所以我們用安培定律（方程式[2]）來計算繞著電線的磁場的大小。然而，H場是向量場，這意味著在每個位置is都有一個量值和一個方向。H場的方向與虛環相切，如圖2所示。右手法則決定磁場的方向：
我們要用斯托克定理做同樣的技巧，就像我們在看法拉第定律時做的一樣。我們可以重寫方程式[2]中的安培定律：
在方程[4]的右邊等式中，我們利用Stokes定理將一個閉合環周圍的線積分，通過環所包圍的曲面，轉化為同一場的旋度。
我們還可以將總電流（I）重寫為電流密度（J）的表面積分：
現在我們用表面積分（方程[4]和[5]）重寫了原來的安培定律（方程[2]）。因此，我們可以把它們放在一起，得到安培定律的一種新形式：
現在，我們有了一種新的安培定律：磁場的旋度等于電流密度。如果你是一個聰明的學習者，你可能會注意到方程式[6]不是最后的形式，它是寫在方程式[1]中的。方程[6]有一個問題，但直到19世紀60年代，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋才發現這個問題，并把電磁學與麥克斯韋方程統一起來。
至此，麥克斯韋方程全部講完，不知道小伙伴們對麥克斯韋方程組有沒有加深印象。沒有的話，繼續往下看：
到目前為止，我已經單獨討論了麥克斯韋方程。在這一頁上，我想再次給出他們的概述-沒有數學-并解釋他們作為一個整體的含義。
4.1高斯定律
高斯定律等價于電荷的力方程：相似電荷相互排斥，相反電荷（正電荷和負電荷）相互吸引。
高斯定律還說電場線偏離電荷。這意味著正電荷是電場的來源（就像水龍頭是水源一樣）。高斯定律是指負電荷作為電場的水槽（水通過水槽孔排出或離開一個區域的方式）。這意味著電場線在充電時開始和停止。
4.2磁學高斯定律
麥克斯韋的第二個方程表示磁單極子不存在。當我們有電荷（電單極子）時，我們從未發現磁等價物——磁電荷或磁單極子。這個方程表明磁場傾向于環繞物體，因為散度為零，磁場傾向于形成閉合環。
4.3法拉第定律
法拉第定律告訴我們，隨著時間變化的磁場會產生一個循環的電子場。這意味著我們有兩種產生電場的方法——從電荷（或流動電荷、電流）或從正在變化的磁場。
4.4安培定律
安培定律告訴我們，流動的電流產生一個繞著電線的磁場。除此之外，它還說隨著時間變化的電場會產生一個圍繞著電場的磁場——這是麥克斯韋自己提出的位移電流項。
這意味著有兩種方法可以產生一個螺線管（循環）H-場-一個流動的電流或一個變化的電場。兩者都會產生同樣的現象。
總的來說，麥克斯韋方程是什么意思？
前兩種主要用于直流電，即當所有電壓和電流都是恒定的，且沒有隨時間變化的情況下。這些在我看來不太重要，事實上，它們可以從第二組方程中導出。因此，這是后兩個版本的一個較弱的版本。
第三和第四個方程確實規定了電場和磁場的規則。例如，在一種被稱為時域有限差分法（FDTD）的電磁學解算器中，只有后兩個方程用于E場和H場的數值求解。前兩個不需要。
讓我們來看看第三和第四個方程，這兩個簡潔的陳述支配了所有的E場和H場傳播：
法拉第定律說，變化的磁場產生一個旋轉的電場。現在，宇宙中的事物不會持續增長或持續收縮——它們會振蕩（以平均值上下移動）。這意味著磁場先增大后減小，這意味著電場在一個不斷變化的磁場周圍來回纏繞。這意味著電場也在隨時間變化。
現在看看安培定律。這意味著一個變化的電場會產生一個旋轉的磁場。同樣地，電場也會在時間上振蕩，環繞磁場也會在時間上變化。
讓我們想想最后兩段。不斷變化的磁場產生不斷變化的電場。而不斷變化的電場會產生不斷變化的磁場——磁場本身會產生不斷變化的電場，從而產生。。。。。
這是什么？這種現象稱為傳播。這就是電磁波傳播的原因。這是一個永恒的運動輪，它使太陽光在真空中傳播，而不需要任何介質。從這兩個方程中我們可以確定所有傳播的波都以單一的速度傳播，即光速。這個速度可以直接由麥克斯韋方程中的常數決定。
每一種電磁形式或輻射——可見光、x射線、加熱地球的太陽光、無線電波、電視波、wifi信號、藍牙信號、手機傳輸和GPS——都完全由電場和磁場組成。你所需要知道的關于它們如何傳播和與物質相互作用的一切，都完全由上述兩個方程決定，這兩個方程在19世紀60年代由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋統一解釋。
讓我們記住這個人詹姆斯·克拉克·麥克斯韋
![方程[3]和方程[7]中的項替換方程[2]的Farday定律](https://upload.semidata.info/sns.eefocus.com/rf/article/media/2021/11/23/355386.jpg)
![重寫方程式[2]中的安培定律](https://upload.semidata.info/sns.eefocus.com/rf/article/media/2021/11/23/355405.jpg)
![表面積分（方程[4]和[5]）重寫了原來的安培定律（方程[2]](https://upload.semidata.info/sns.eefocus.com/rf/article/media/2021/11/23/355373.jpg)
